Si divides el número 1 entre 999’001 …
Al dividir 1 entre 999.001, obtienes un número decimal periódico que “esconde” la sucesión de Fibonacci de tres en tres dígitos.
El resultado comienza así:
0, 000 001 001 002 003 005 008 013 021 034 055…
¿Por qué sucede esto?
Esta curiosidad ocurre porque el número 999.001 se puede expresar como 10^6 – 10^3-1
, una estructura matemática que, al usarse como denominador, genera una serie donde cada término es la suma de los anteriores (similar a la fórmula generatriz de los números de Fibonacci).
Si usas denominadores similares, puedes obtener resultados parecidos:
- 1 / 81: Genera los dígitos individuales (1, 2, 3, 4…).
- 1 / 9801: Genera la secuencia de dos en dos (00, 01, 02, 03…).
- 1 / 998.001: Genera la secuencia de tres en tres (000, 001, 002…).
Para diseñar esta división, aplicaremos la fórmula de la función generatriz para una progresión geométrica (donde cada número es el doble del anterior).
1. Definir los parámetros
- La secuencia: Potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32…).
- El espacio (k): Queremos 4 dígitos para cada número, por lo tanto $x = 10^{-4} = 0,0001.
- La regla: Cada término es el anterior multiplicado por 2 (r = 2).
2. Aplicar la fórmula
Para una serie de potencias 1 + rx + (rx)^2…, la fórmula del denominador es (1 – rx).
Sustituimos nuestros valores:
- D = 1 – 2x
- D = 1 – 2(0,0001)
- D = 1 – 0,0002
- D = 0,9998
3. El resultado
La fracción mágica es 1 / 0,9998. Para trabajar con números enteros en el denominador (como en el ejemplo original), multiplicamos arriba y abajo por 10.000:
10.000/ 9.998 = 5.000/4.999
Si pones 5.000 / 4.999 en una calculadora, verás esto:
1, 0002 0004 0008 0016 0032 0064 0128 0256…
¿Qué acaba de pasar?
Al usar el denominador 9.998, obligamos a la división a “desplazarse” 4 lugares decimales y multiplicarse por 2 en cada salto. El patrón se romperá eventualmente cuando las potencias de 2 superen los 4 dígitos (después de 2^{13} = 8192), ya que el siguiente número (16384) “invadirá” el espacio del anterior.
-> Desafío: Prueba a intentar diseñar una para una secuencia más compleja, como los números cuadrados (1, 4, 9, 16…)